曲江公萧遥欣字重晖，是始安王萧遥光的弟弟。宣帝的哥哥西平太守萧奉之没有后代，就把萧遥欣过继为曾孙。萧遥欣在幼年的时候，就体形很高，明帝曾经对江纏说：“遥欣虽然年幼，但看他的神采，很有骨力，必定会成为美才，只是不知道时运怎样。”安陆昭王萧缅说：“不担心他们兄弟不富贵，只是怕萧缅来不及见到。”说话间惨然而悲哀。
他年龄刚刚七岁时，有一次出了斋房，看见有一个附近的小孩，善于弹射飞鸟，无不应弦坠落。萧遥欣对他说：“一般的游戏很多，何必急着弹射小鸟！鸟自己在空中飞翔，对人有什么妨碍？无趣味地杀害这些生灵，也不要太急迫。”小孩被他的话所感动，就不再弹鸟。当时的少年都喜欢这种游戏，于是各处也都停止了。
十五六岁的时候，他便博览经史。二十岁任命为中书郎。明帝入朝辅佐国政，萧遥欣与始安王萧遥光等人参与政事，凡是他所谈论推荐的，都是优秀人才。因此朝野人士归向，轩盖盈门。
延兴元年(494)，明帝以萧遥欣为延州刺史。当时丰城公萧遥昌出京镇守寿春，明帝在便殿秘密为他设宴，始安王萧遥光也在座，明帝凄惨地对萧遥欣说：“昭王说，不担心你们兄弟不富贵，而怕来不及见到，现在怎么样呢？”于是悲痛得不能自制，君臣都呜咽不止，侍从们泪如雨下。等到停泊在欧陽岸边，他忽然对左右的人说：“近来为什么都不见有人弹射？”左右的人说：“有门生因为弹射而使人感到悯惜，便以此废弃，到处都停止了。”萧遥欣笑着说：“我小的时候随便说说罢了，怎么因此就断绝了呢？”建武元年(494)，晋升官号为西中郎将，封为闻喜县公，调任荆州刺史，加官都督，改封为曲江县公。明帝的子弟都还弱小，晋安王萧宝义有残疾，所以由萧遥光主管扬州，居于中心，萧遥欣住在陕西，在外面，权威都在他的门下。
萧遥欣喜爱武勇，聚养武士，作为护卫。永泰元年(498)，诏令萧遥欣以本官兼任雍州刺史、宁蛮校尉，迁移州镇到襄陽。魏军退走后，他没有离开。去世后，追赠为司空，谥号为康公，埋葬用的是王礼。