在处理这类问题时，最重要的是反向推理的能力。
——柯南·道尔，《血字的研究》
福尔摩斯退休以后到苏塞克斯高地养蜂，平静地隐居了几年。他的（第一封）来信很简短：“田园生活不大适合我。我多么渴望智力上的刺激！你能想办法来一趟吗？”我取消了几个安排好的预约，次日便乘火车南下。
当晚稍晚的时候，我们共进晚餐，席间我说起我在俱乐部里分析了我们过去的冒险。“福尔摩斯，我认为你是最容易遭人误解的英国人之一。所有人都以为，你的声望来自于你处理的案件的难度。但是我相信，关于你的传说之所以广为流传，是因为案件的解决都太简单了。”
福尔摩斯把指尖合在一起，露出感兴趣的表情：“你认为英国公众喜欢听幼稚的侦探故事吗？”
我觉得他的表情清楚地表达了他的想法。我接着说：“公众喜欢这样的案件：答案一经公布，人们会觉得它是极其明显、不证自明的……但是找到这个答案的过程却是非常困难的。只有当答案明显正确时，读者才会敲着自己的脑袋感叹：我怎么就没想到呢！”
“所有问题回头再看时都很简单，”福尔摩斯答道，“这就像走迷宫，从终点出发往回走。”
“不，”我反驳说，“我不同意。有些迷宫从终点往出发点走同样困难。有很多问题，它们的答案和问题本身一样艰深晦涩。如果你总是用枯燥的弹道学和指纹折磨大家——伦敦警察厅的警员大多数时间就这么干，我在向大家介绍你的事迹时，听众恐怕不会有现在的1/10。大众喜欢容易理解的答案。”
“你的观点很有趣，”福尔摩斯不置可否地说，“我订了几份深奥的杂志打发枯燥的养蜂生活，在其中一份杂志上我见到了威廉·尚克斯（William Shanks）的工作成果。此人是这个美丽岛国的数学家，他花了20年时间把圆周率推算到了小数点后第707位。他计算出的结果占了整整一页纸，但整页都是没有意义的、随机的数字。如果有人怀疑尚克斯的结果，他将不得不花费同样多的时间重复尚克斯的劳动。在这个例子中，验证答案的工作和初次发现答案相比，难度完全相同——这个例子与‘明显’的答案完全相反。”
“完全正确。我在伦敦曾经对一位学校里的密友这样说，但他回答说，这就像一个谜题：有一个普通的英语单词，开头和结尾都是‘UND’这三个字母，这个单词是什么？猜想这个单词很困难，但是一旦你想到了，就不会怀疑答案的正确性。当然，解答这个问题时不允许你翻字典。”
福尔摩斯一言不发地皱起眉头。
“我告诉俱乐部里的几个熟人我要来看你，我对他们说我需要几个谜题消磨时间。他们给了我一些精妙而难解的谜题。这些问题看来都属于你擅长解决的那类，而且答案一经发现就变得很明显。你可以花几周时间琢磨这些问题，我不需要待在这里告诉你答案正确与否。”
“几周？我不相信会用那么长时间。”
智力测试
饭后，我把福尔摩斯领到我住的客房的隔壁房间。福尔摩斯租下这间屋子，但是它几乎没什么用，里面也没什么家具。当天下午，我搬走了床和椅子，屋子显得相当空。
有两条绳子从天花板上垂下来，每条6英尺长，两条绳相距10英尺。由于天花板的高度也是10英尺，所以绳子的下端距地面4英尺。
除此之外，这间屋子唯一的特征就是地上有一堆乱七八糟的东西：一把瑞士军刀，一个爆竹，一小瓶乙醚，一块25磅重的冰，还有一只花猫。那块冰被放在了一个平底锅里，以免弄脏印度地毯。
“我投降了，华生。你想要干什么？”福尔摩斯问道。
我说：“问题是把绳子的两头系起来。你会发现，这两根悬挂着的绳子之间的距离，比你双臂展开的长度还要长4英尺。当你抓着一根绳子的时候，你就摸不到另一根绳子的任何部分。在解决这个问题的过程中，所有你可以利用的东西包括这把瑞士军刀、这个爆竹、乙醚和冰，还可以用到这只猫。但是，你不许用窗帘上的杆子、壁纸、地毯以及屋里的其他东西，你身上的衣服和其他物品也在禁用之列”
福尔摩斯仔细地审视了地板和天花板，然后说：“你用来挂绳子的那架梯子的第三阶松了。”
我没理会他的话，接着说：“这两根绳子用活扣系在天花板上的固定点上，绳子经不住你的重量。作为提示，我只能告诉你：这是最令你发疯的谜题之一——虽然想出答案可能很困难，但是知道答案以后你就会觉得太简单了。”
气、水、电
福尔摩斯静静地沉思了一会。然后问道：“第二道题呢？”
我说：“你的下一个问题是亨利·欧内斯特·杜登尼最近写的文章中的一道题。我花了一些时间钻研这个问题，但是听说这道题根本没有解。后来我又花了一些时间研究，最后的结论是它有一个解。”
我给福尔摩斯看了我从文章中剪下来的图：“有三栋住宅，还有三家提供公共服务的公司——煤气公司、自来水公司和电力公司。每家公司都想把管道（或电线）铺进每一栋住宅，但管道（或电线）之间不能交叉。管道的路线可以弯曲，也可以绕远，但是不能交叉。”
福尔摩斯几乎对这幅图不屑一顾：“我对这道题太熟悉了，华生。这道题的历史比电灯早，甚至比煤气灯还要早。比较古老的版本说的是通向鸽舍、水井和草垛的路。我可以肯定地告诉你，如果你认为自己找到了一个答案，那么你一定犯了错误。这办不到。”
“尽管如此，我认为你会同意存在一个解。”
福尔摩斯宽容地叹了一口气：“我知道有人给出了一些取巧的答案：一条管道可以穿过一栋房子；自来水管可以包在煤气管道里面。我承认这些办法中的聪明才智是可敬的，但是我确信，你会把这些方法视为作弊。它们违背了原题中最关键的拓扑关系。住宅和公司都应被视为没有面积的点，管道应被视为没有截面的曲线。”
“我不能赞同你的观点，肯定存在一个答案符合你所说的拓扑关系。”
公司的流言
我的第三道谜题是这样：“某个特定的大公司有1 000名雇员，它有一个独特的解雇员工的办法。任何人都不会被告知他被解雇了。每一个预计将被解雇的员工都可以推断出他将被解雇的结论，所以他会主动辞职，而非等着被解雇。
“公司里的雇员始终都生活在被解雇的恐惧之中。即将解雇某人的流言会在瞬间传遍整个公司。流言加工厂的信息是完全正确的，流言的传播也非常稳定，没有人会出于恶意或无聊制造假消息。一旦计划好解雇某人，除了这个不幸的员工自己，公司里的每个人都知道。他本人一定是最后一个知道。没有人忍心把坏消息告诉将被解雇的人，而且，每个人都在长期的磨砺中都学会了完全不动声色，当一个同事注定要被解雇时，其他人都会按部就班地工作，一切照旧。
“这种流言遍布、口是心非的环境使得所有员工都精于逻辑推理。每个晚上，每个员工都清醒地躺在床上，回想他听到了什么、没听到什么，推敲与他在公司中的职位相关的所有可能的推论。任何蛛丝马迹都逃不过他们的洞察和分析。每个员工都非常聪明（也非常多疑），任何人都不会漏掉任何行动的任何逻辑含义。如果一个员工推论出他将被解雇，次日早晨他做的第一件事就是辞职。
“有一天，这家公司被一个更大的公司吞并了。这家更大的公司的经理召集全体员工开会，并在会上宣布：‘裁减冗员的时候到了。名单已经确定！’这个经理没说谁将被解雇，他甚至没说多少人将被解雇。像往常一样，没有什么秘密能瞒过公司的流言系统。会议刚结束，就有某职员将被解雇的消息传出。下面将发生什么事？”
福尔摩斯问道：“‘下面将发生什么事’是什么意思？”
“这是一个关于可能发生解雇的、相当精妙的推理。这个谜题在于看你能推出什么。”
“没有足够的信息！”
“这个精致的谜题的魅力就在于，从最小化的信息出发可以推出非常丰富的结论。”
福尔摩斯看起来相当草率地尝试了几个想法，然后干脆放弃了。他说：“我猜想，有些不幸将被解雇的人，可以从其他人的行事方式中看出自己的命运。”
“不，不，你没有理解这个问题。他们全是顶级演员，而且毫无义气，即使他们最好的朋友将被解雇，他们也不会透露任何消息。”
“我早就知道，最狡猾的说谎者也经常从瞳孔泄露真相——”
“我没提任何关于瞳孔的事，这和瞳孔没关系。”
“这些员工不能聚在一起共享信息吗？”
“除了我提到的公司的流言加工厂以外，他们没有其他的交流手段。在任何情况下，任何人都不会对其他人说‘你将被解雇’，他们也不会通过公司外的第三方告知对方。”
“匿名信呢？”
“不许写！”
墓地谜题
“说到匿名信，我想起一个谜题：一个人收到一封没有署名的信，信中说让他午夜去当地的墓地。通常他不会理会这种事，但是这次他出于好奇去了。夜晚一片死寂，仅有一弯新月照明。这个人在自己的祖坟前站住了。就在准备回去时，他听到有人拖着脚步靠近的声音。他高声呼叫，但是没有应答。次日早晨，管理员发现此人死在坟前，脸上带着恐怖的狞笑。
“问题是，此人在1904年的美国总统选举中，是否投了罗斯福的票？”
“好！”福尔摩斯表现出极大的兴趣，“终于有一道可以用逻辑方法解决的问题了。”
一个测量员的困境
接下来我从我的医务箱里拿出三块纸板，一块是正三角形，一块是缺一个角的正方形，还有一块是完整的正方形。“在美国沙漠里有一个地方，住着三个地主，我们称他们为史密斯、琼斯和鲁滨逊。史密斯有三个儿子，琼斯有四个儿子，鲁滨逊有五个儿子。美国人非常民主，他们把财产分割成完全相同的部分，分给自己的继承人。
“史密斯的地产是正三角形的，他不想偏向三个儿子中的任何一个，所以他让国家测量员把这块地分割成形状和面积都完全相同的三块。测量员做到了。”我用钢笔在三角形纸板上画出了分割办法。
“琼斯有四个儿子，他的地产是L形的，面积是正方形的四分之三。测量员费了好大力气，终于把这块地分割成四块，每块的形状和面积完全相同。
“鲁滨逊有五个儿子，地产是标准的正方形。他要求测量员把地产分割成完全相同的五块。测量员发现这个问题极其困难。他完不成这个任务，把所有其他的事情都耽误了。他几乎拔光了自己所有的头发，最后别人不得不用勺子喂他吃饭。你的最后一道谜题是把正方形分成五块，每块的面积和形状完全相同。这是可以做到的，但我要警告你，解法是唯一的。
“我希望你能从这些问题中获得乐趣。今晚我准备睡觉了。请不要通宵研究这些问题。如果你通宵研究的话，在你找到答案时，拜托你不要叫醒我。无论如何，你不需要我帮助你印证答案。正确的答案是明摆着的，就像秃子头上的虱子。”
当我离开时，福尔摩斯正坐在松木桌旁运笔疾书，没理睬我。
答案
我做了噩梦，我想这是晚上闲扯引起的过度兴奋造成的。次日早上我八点起床，第一件事是瞥一眼隔壁的空屋子。挂在天花板上的两条绳子已经系在一起，悬在我头顶。
看到那只花猫毫发无损，我如释重负。它完全不知道我曾把它当作道具误导了福尔摩斯！我想起福尔摩斯对动物没什么怜惜之情。
我在客厅找到福尔摩斯。他躺在沙发里，香烟产生的蓝色烟雾环绕着他。他还穿着昨天的衣服。他宣布：“除了一道题以外，其他题都不值一提。”
“是吗？”我在桌边坐下。桌子上画了上千个正方形，乱七八糟的图案把这些正方形分割成了马蜂窝。在一页纸的顶端写着一个生僻的新词，“UNDACHSHUND”，这个词上被重重地打着一个叉。我好不容易克制住了发表评论的欲望，因为这个词下面就是正确的答案。
“你最先想到的是哪个词？”
“‘UND’这个谜题我是最后解决的。”
“这个问题应当是最容易的。”
“我也这么认为，”福尔摩斯承认，“这个谜题之所以困难，是因为没有成系统的解决办法。如果找不到灵感的话，最好的办法就是尝试所有以UND为首尾的可能的组合。”
“看这儿，”福尔摩斯拿出一张写满字母的纸说，“由于UND本身不是单词，而且UNDUND也不是，我们要尝试UNDaUND、UNDbUND、UNDCUND，如此这般，直到UNDZUND。如果这26种7个字母的组合都不是普通的英语单词（我很快发现确实不是），你就必须尝试八个字母的组合，UNDAAUND，UNDABUND……，直到UNDZZUND。这类情况包括26乘以26种组合，总共是676种。”
“这样你还是没找到答案，”我补充说。
“没错。随着单词长度的增加，可能的组合数目呈几何级数增长。你将会发现，由于正确答案足够长，为了发现这个答案需要尝试几百万个字母组合。正是因为这样，我发现这个问题不公平。没有人可以用逻辑方法解决它，它太繁复了。”
“你是怎么找到答案的？”
“凭借幸运的猜测，或者依赖所谓的下意识，这二者我都不满意。我希望用逻辑方法找出答案。有一刻我感到一片漆黑，接下来，‘UNDERGROUND’这个单词突然跳进了我的脑海。”[1]
“也许还有其他的例子说明幸运的猜测比逻辑推理更有效？”我提出一个观点。
“你是指系绳子的问题吗？在一定程度上是这样。华生，当面对混淆视听的干扰项时，我总是能识别出来。如果我告诉你我当时的想法，请别太难过。你刚出完题，我就怀疑你给出的那些物品中，比较稀奇古怪的东西很可能根本用不上。从出题者的立场看，这个问题的精妙之处在于，解决这个问题不需要哪个特定的物品，这些物品中的任何一个都可以。
“我用的是瑞士军刀。用装乙醚的瓶子也可以，爆竹和冰块也能实现目的。猫会扭动，不过我想乙醚可以解决这个麻烦。我把小刀系在一条绳子上，让绳子荡起来，然后我牵着另一条绳子，抓住小刀，把两条绳子系在一起，形成一条优美的抛物线。回过头看，这个问题本身很简单。”
“应当是一条优美的悬链线。”我纠正说。
“感谢你让我重新注意‘气、水、电’的谜题，”福尔摩斯说，“我猜你就是这么想的，你答案中的拓扑结构就是这样吧？”他拿出一张整洁的铅笔画，上面画的正是我的答案。
福尔摩斯解释说：“这个问题是作为平面问题提出的。实际上地球是一个球面，但是这并不构成什么差别。球面上的任何一个由点和线组成的结构，等价于平面上的一个结构，这是因为我们可以在一对极点上把球面‘刺破’，然后把球面变形为平面。在某些拓扑结构的特定表面上，这个问题中的管道路线可以不交叉。在麦比乌斯带和环面上，这个问题都是可解的。环面中间有一个洞，就像炸面包圈的形状。任何一条天然的隧道都把地球变成了环面，由岩石天然形成的桥或窗户的形状、有两个洞口的山洞或海底洞穴，通风孔、土拨鼠的洞——这些东西都能把地球变成环面。实际上，隧道是一个自由的交叉点。可以这么说：如果没有别的办法让两条管道不交叉，你就可以让一条管道走隧道里面，另一条管道翻山而过。
“环面的洞必须包括在管道系统中。如果一厢情愿地假定在这些住宅和公司附近有隧道或洞穴，这是没道理的。这个问题消耗了我的一些时间。然后我意识到，既然山不会走向穆罕默德，就让穆罕默德走向山。我们有理由假定这个谜题说的是地球上的事，而地球上有许多天然的隧道。这些提供公共服务的公司可以把三条管道蜿蜒曲折地铺到最近的一条隧道或洞穴处，然后再铺回住宅处。”
“我确信那个关于公司的流言加工厂的问题，你一定解决了，”我说，“应当承认，这个问题是纯粹的推演。”
“这个问题最为独特。答案是纯粹的推演，但是，我完全不能肯定我用的是推演的方法。恐怕这又是一个幸运的猜测。”
“猜测？”
“据说美第奇家族掌握了一种慢性毒药，毒药致命以前的潜伏天数，等于炼制时毒药在阳光下晒的天数。如果某人想让与自己有竞争关系的遗产继承人或者红杏出墙的女主人在15天之后归西，他会预先准备，在佛罗伦萨的骄阳下把毒药晒15天。毒药的配方已经失传……”
“作为一名医务工作者，我向你保证，这是个童话故事。这与谜题有什么关系呢？”
“我之所以提到所谓的美第奇家族的毒药，是因为这个传说引导我找到了答案，我是完全偶然地想起了这个传说。在公司里，每一个预计被开除的人都会在同一天推出自己将被开除，而且会在同一天辞职。推论的结果是，需要等待的天数与将被开除的人数相等。如果公司准备开除79个人，那么在宣布之后的第79天，所有这79个人都会辞职。”
“你是怎么得出这个结论的？”我问。
“这是一个奇妙也有些荒谬的推理。为了简化问题，我假定只有一个人将被开除。谣言加工厂知道这个人是谁，而且除了他本人以外，公司里的所有人都知道这个情况。当晚，这个注定要被开除的人在床上辗转反侧。他知道有人将被开除，但是他不知道谁将被开除，这不是很奇怪吗？公司的流言传播机制极其高效……唯一可能的结论就是：他——而且仅有他自己——将被解雇。如果他只是一批将被解雇的人中的一个，他应当已经知道了其他将被解雇的人是谁。因此，这个唯一的不幸者次日早晨必将辞职。这是唯一符合逻辑的可能。如果只有一个人将被开除，这就是将要发生的情况。
“下面考虑有两个人将被开除的情况。根据流言传播的规律，每个人至少知道一个将被开除的人的名字，第一个晚上所有人都可以安睡。每个员工都可以推想出我刚才描绘的、只有一个人将被解雇的情形。宣布之后的第二个晚上，这两个将被解雇的人会遭受失眠的折磨。两个人都会这么想：‘很不幸，某人将被解雇了。但我不明白的是，为什么此人今天没辞职呢？’所有员工都有完美的逻辑推理能力，而且有充足的思考时间去考虑各个行动的含义。只有在一种情况下此人才不会辞职：他知道另一个将被开除的员工的名字。这两人一定都会得出结论：另一个将被开除的员工只能是他本人。这两个员工在宣布之后的第二个早晨一定会辞职。
“此后整个问题迎刃而解。如果有三个人将被开除，则头两个早晨无人辞职，而每一个将被开除的员工只知道两个人将被开除。根据这两个条件，每一个将被开除的员工都可以推出自己的命运。这个问题与牵涉多少人无关，唯一的要求是每个人都坚信其同事的强大的逻辑推理能力。如果999天里无人辞职，那么所有1 000名员工都将度过一个无眠的夜晚，并且得出结论：整个工作团队将被解散。”
“那个墓地问题呢？”
“我跟你说过，华生，这个问题很简单。”
“对你来说也许简单。我不认为存在一个评判简单和困难的客观标准。”
“我相信你是对的。无论如何，这个问题的答案是：不，此人没有投罗斯福的票。解决这个问题的关键在于意识到题中提到的新月在午夜是看不见的。每个牧羊人都知道这个基本常识，令人震惊的是那么多所谓的受过教育的人却不知道。极地是个例外，在极地，太阳以及太阳附近的新月在一天的整个24小时中都是可见的。因此，如果此人真的生活在美国，他一定住在阿拉斯加，接近北极圈或者更靠北。阿拉斯加地区的公民在那时没有选举总统的权力，无论政治立场如何，他都没有投过罗斯福的票。”
“祝贺你，福尔摩斯，”我说，“这么说，一定是那个分割土地的问题困扰了你。”
福尔摩斯点头：“就是这个问题让我彻夜无眠。我觉得这个问题的性质与其他问题不同。在其他问题中，可以设想的答案的数目在某种程度上是有限的。然而，正如在一个平面上有无穷多条直线，分割一个平面图形的方式也有无穷多种。我不仅没做出这道题，我甚至都不知道如何开始。”
“你打算投降了吗？”
“是的。告诉我答案吧。”
“我考虑过了，我想我最好还是在安全返回伦敦之后写信告诉你。”
“为什么？”
“你不会高兴的。”
“华生，立刻告诉我！”
我在回家后的次日才把这幅图寄给福尔摩斯：
[1] 这个问题另有一个答案：UNDERFUND。不过在华生那个时代，字典里恐怕没有这个词。