一个囚徒站在死刑法官面前听候判决。法官的话相当不吉利：“我不得不做出残酷而罕见的判决。我能够做出的最严厉的判决是绞刑。这个恐怖的刑罚必须执行。除此之外，我唯一的自由是安排你的行刑日期。对此有两种考虑让我犹豫不定。”
“最直接的想法是下令立即执行，马上生效；相反的想法是，这样决定也许对你过分仁慈了，你将不必为即将到来的命运而担惊受怕。因此，我做出一个折中的决定：在下周7天中的某一天，我会在日出时判处你绞刑。我保证，你不可能事先知道自己将在哪一天被绞死。每个夜晚，你入睡时都在担心明天早晨是不是可怕的末日，而当最后的时刻来临时，它将完全是一个意外。”
囚徒退后，发现他的律师在听到这个难以置信的、残酷的宣判以后，竟然露出了微笑。他们走出法庭之后，律师说：“他们不能绞死你。”律师解释说：“根据安排，在下周的7天中的某一天，在日出时你将被绞死。于是，他们不能在星期六绞死你，因为这是一周的最后一天。如果在星期五的早晨你没有被绞死，那么你就确切无疑地知道行刑日是星期六。这与法官的计划矛盾，法官的计划是不让你事先知道行刑日期。”
囚徒对此表示赞同。律师接着说：“实际上，他们最迟只能在星期五绞死你，这一点没问题。但是仔细一考虑，他们在星期五也不能绞死你。既然星期六实际上已经被排除，星期五是他们可以绞死你的最后一天，那么，如果你在星期四早晨能活到吃早饭的时候，你将确切地知道自己将死于星期五。这又与法官的命令矛盾。你发现了吗？根据同样的逻辑，可以排除星期四、星期三，乃至于其他每一天。法官把自己套住了。这个判绝不可能被执行。”
这个囚徒的愉快心情只保持到了星期二。他从美梦中醒来，被押往刑场——这对他来说非常意外。
突然袭击的考试与隐藏的鸡蛋
意外绞刑悖论中包含着两个陷阱。我们认为，悖论在于似是而非的判决无法被执行。确实如此。哲学家迈克尔·斯克里文（Michael Scriven）写道：“逻辑的力量遭到事实的否决，我觉得这正是此悖论的迷人之处。可怜的逻辑学家念着过去屡试不爽的咒语，但事实上这个怪兽听不懂咒语，执意前行。”
这个悖论拥有非同寻常的声望，因为它是在一个真实事件的启发之下诞生的。它可以追溯到第二次世界大战期间（1943年或1944年）瑞典广播公司播放的一个广播声明：
本周将举行一次民防演习。为了确保各个民防单位真正处于无准备的状态，任何人都不会预先知道演习将在哪一天发生。
瑞典数学家莱纳特·埃克波姆（Lennart Ekbom）在声明中发现了微妙的矛盾，并且告诉了他在艾斯特毛姆学院的学生。从此，这个问题很快传遍世界。它被装扮成好几种轶闻的形式。其他的版本包括a级灯火管制、将在下周举行的临时军事演习、教师进行突然袭击的考试，等等。
在许多一个人的知识不完善的场合，都可以看到这个悖论的影子。米尔纳（E. V. Milner）注意到《圣经·新约》中的一个寓言故事与此类似。这个寓言讲的是富豪和麻风病人。富豪有钱，死后要下地狱；麻风病人是穷人，一生都在受苦，死后要进天堂。富豪向亚伯拉罕祈怜，但是亚伯拉罕说，不行，生前的不公正必须在下一世精确地得到补偿，活着时走运的人死后必须受苦。米尔纳的“富豪与麻风病人”悖论揭示了“来世正义”这个概念中的矛盾：
……假定我们实际发现了某些方法让活着的人（无论贵贱）确信，在来世“正义必将来临”，那么在我看来，将出现一个有趣的悖论。如果我知道自己在此世遭受的不幸将会被来世的幸福所补偿，那么我在此世是幸福的。但是既然我在此世是幸福的，我就没有资格（姑且用这个说法）在来世享福。于是，如果有一个这样的补偿等着我，那么这个补偿的存在就要求我应当至少不完全确信它的存在。颇具讽刺意味的是，“正义必将来临”这个判断看来只对那些不相信它的人生效。这是因为，如果一个人相信它，正义就已经生效过了。
意外绞刑悖论中的一个比较次要的缺陷是，囚徒有可能根本不被绞死。在囚徒的推理中，“死刑一定会执行”是一个重要的前提。为了弥补这个缺陷，迈克尔·斯克里文采用鸡蛋实验的形式重新表述了这个悖论，他的分析发表在1951年的英国杂志《心灵》上：“你面前有一排盒子，共10个，分别编为1号至10号。你转过身去，你的朋友把一个鸡蛋藏进其中一个盒子里。鸡蛋一定在某个盒子里，这是毫无疑问的。你的朋友说：‘依次打开盒子。我保证，你将在某个盒子里意外地发现鸡蛋。’显然，她不能把鸡蛋藏进10号箱子，因为你在打开9号盒子以后就会确知鸡蛋的位置。推演和反推依然生效，而最后你会意外地在某个盒子——比方说6号盒子里发现鸡蛋。”
霍利斯悖论
囚徒的精妙推理可以延伸到什么限度并无限制。我们研究一个比较新的变种——霍利斯悖论（由马丁·霍利斯提出）：
火车上的两个人A和B各自选一个数，然后通过耳语告诉另一个乘客C。C起身宣布：“我到站了。你们两人告诉我的是两个不同的正整数。你们俩都无法推出谁选的数大。”然后C下车了。
A和B在沉默中继续自己的旅程。A选的数是157，他想：“显然B选的不是1。如果他选的是1，他就会知道我选的数比他的大，因为C刚说过我们两个选的数不同。同样明显的是，B也知道我没有选1。没错，1可以完全被排除，我们两人都不会选。最小的有可能的数是2。但是如果B选的是2，他应当知道我选的不是2。于是2也被排除……”
如果他的旅途足够长，他可以排除每一个数。
一个简化的悖论
当我们面临疑难时，应当先把疑难简化。7天和10个盒子（以及阿列夫零[1]个整数）是不必要的东西。如果只有6天（6个盒子），或者5天、4天，悖论依然存在。那么，问题可以简化到什么程度呢？简化到两天？还是简化到一天？
我们试一下一天的情况。法官宣布囚徒将在星期六被处死（囚徒当然听到了判决）。毫无疑问，囚徒预先知道行刑日期。他当然知道。刽子手唯一可以让他感到意外的办法是根本不吊死他，但是这种可能性一开始就排除了。因此，这里没有意外，也没有悖论。法官做出了一个不可能的要求。“你将死于星期六，而且这将是一个意外”，这句话无异于“你将死于星期六，而且2+2=5”。总之，这句话的后半部分是错误的。
现在把简化的目标调低一点儿，考虑两天的情况。法官宣布囚徒将在下周末被绞死，但是囚徒不可能推出究竟在哪一天（星期六还是星期日）行刑。那么，悖论依然存在吗？
毋庸置疑，囚徒无论如何将在两天中的一天被处死。如果星期六日出时没有行刑，那么在星期六的早餐时刻，囚徒就会确切地知道自己将在星期日被处死。
然而，这意味着判决无法被严格执行：行刑不是意外的。结论：判绝不可能以在星期日绞死囚徒的方式执行。
在星期六行刑是否可以满足“意外”这个要求？这依赖于囚徒是否预期星期六行刑。有两种可能：囚徒预期星期六行刑以及囚徒未预期星期六行刑。
囚徒可能这样想：“好吧，我已经没救了。”然后就不再考虑了。关于在哪一天行刑他没有任何考虑。在这种情况下，刽子手只需在星期六绞死囚徒就可以满足法官的要求。（星期日依然需要排除。如果星期六没有行刑，即使最随遇而安的囚徒也会意识到，他将死于星期日。）
悖论的关键在于第二种可能性：囚徒确实分析了自己的处境，并且预计刽子手将在星期六到来，这样刽子手将无法满足“意外”这个要求。
我们暂且把悖论放到一边。如果你是刽子手，你会怎么做？你必须在星期六或者星期日行刑，而且你必须遵守法官的命令——如果命令可以被执行的话。
显然，一个尽全力执行命令的、聪明的刽子手几乎肯定不得不选择在星期六行刑。在星期日行刑不可能不被预见到。在星期六行刑，刽子手至少可以寄希望于囚徒没有深入考虑这个问题。
于是，刽子手在星期六日出时分把囚徒押赴刑场。根据惯例，囚徒可以说出他的遗言。囚徒转向法官，说道：“你的刽子手没有执行命令！我预见了今天被处死。只有在今天被处死，我才有可能无法预见到结局，但是我还是预见到了！”
囚徒和刽子手在斗智，每一方都可以预见对方做出的关于行刑日期的推理。当然，如果遇到一个愚蠢的囚徒，此人既不思考自己的命运，也不尝试反复猜测，那么这个悖论就无法成立。但是，如果双方都是精通逻辑谜题的高手，那么这里确实有一个意义深远的悖论。
时间旅行悖论
苏格兰数学家托马斯·H·奥贝恩（Thomas H. O’ Beirne）指出，这种情况是有可能的：一个人做出一个关于未来事件的预言，而且此预言是真实的，但其他人直到事后才知道它是真实的。当法官说囚徒将会感到意外时，法官是正确的，即使囚徒（当下）还不知道法官是正确的。
把悖论换一种表述可以看得更清楚：法官宣判，在下周的某个时间处死囚徒（日期由刽子手确定）。之后法官钻进一台时间机器，把时间拨到一周以后（或者更远）。到达不久的将来以后，法官走出时间机器，买了一份报纸，读到囚徒在宣判之后的星期二被处死的报道。囚徒在最后一次接受采访时说，他对这个日期感到吃惊，他原以为他们等到本周末才会行刑。一个残酷的想法跳进法官的脑海：“如果我回到宣判的当天告诉囚犯，他将无法猜出行刑的日期，这将是一个正确的判决，因为身处未来的我知道他感到吃惊。而且，我对他这么一说，就会把他搞疯！”
法官回到时间机器里，重返宣判的那一天。他走出来，对囚犯说：“你将在下周被绞死，但你事先无法猜出行刑的日期。”（和最初的悖论一样。）囚犯得出结论：他不可能被绞死。他错了，法官对了。
以上叙述有问题吗？有。法官真实地见到了自己最初的判决的后果（最初的判决没有提到日期是无法预知的），告诉囚犯他将感到意外，因为这一举动改变了一些事——变化也许无关紧要，也许意义重大。现在已不能确保囚犯一定会对此感到惊讶。
旅行到未来的法官也许知道，他为自己妹妹的生日举行的意外聚会确实是妹妹未曾预料的。如果他回到前一周，告诉妹妹这一情况，那么很明显，妹妹在生日那天就不会感到意外了。把关于未来的一些有效信息透露出去会使得信息不再有效。
如果法官可以任意地使用时间机器，这个问题不难解决。法官在告诉囚犯他将感到意外以后，可以溜到未来，验证一下他的预言是否准确。如果准确，万事大吉；如果不准确，他可以再返回去修改自己的判决，直到预言与实际情况相符。结果应当是，预言是真实的，但是囚犯在事前无法知道它是真实的。
贝里悖论［因图书管理员贝里（G.G.Berry）而得名，此人向罗素介绍了这个悖论］看起来与意外绞刑悖论很不一样，但是二者之间有深刻的相似之处。想一下“不能以少于18个音节定义的最小整数”。[2]当然，某个数恰好满足这个条件，但是“不能以少于18个音节定义的最小整数”这个词组本身，就是描述一个确定的数的表达式，而此表达式只包含17个音节。所以，“不能以少于18个音节定义的最小整数”实际上被17个音节定义了！
贝里悖论无法轻易地解决这个问题。我们设想在这个悖论中隐藏着一个妖精，它无所不知。一旦某人给出了一个含糊的词组，这个词组就会被妖精获知。看来，这个妖精可以知道关于每一个整数的所有可能的表达式或句子。对它来说，有一个数就是不能以少于18个音节定义的最小整数！这个妖精就像意外绞刑悖论中的法官那样，知道一些我们不可能知道的事。
所有这一切似乎表明，在意外绞刑悖论中，法官可以知道他认为自己知道的信息。然而，囚犯和刽子手的推理也是很有道理的。那么，究竟谁是正确的——如果他们并非全错的话？
什么是知道？
意外绞刑悖论提出了一个问题：什么是知道？囚犯陷入了二级猜测、三级猜测乃至于n级猜测的网络之中。他认为，他知道自己不能在星期六被绞死。刽子手认为，他知道囚犯不能知道行刑的日期。这个悖论令我们担心两种相反的情况：一是由错误的理由支撑的真理；二是由正确的理由支撑的谬误。在科学哲学中，我们经常遭遇同样的问题。我们经常通过与囚犯类似的推理链条“知道”某事——当然，不是在刑事审判中。
就像其他最常见的词汇一样，“知道”这个词有非常丰富的含义。当我们说“我知道凯尔特人将夺得冠军”时，我们其实心怀疑虑——我们经常以这种方式使用“知道”这个词。但是在科学研究中，我们总是希望“知道”这个词代表更加确切的含义。
多年以来，哲学家以三条标准定义“知道”，这三条标准被称为“三重理由”。当且仅当这些标准得到满足时，我们会知道某事。[3]
我们来考虑一个例子。这个例子应当属于某个数学分支。假定你知道4 294 967 297是一个质数（除了1和它本身以外，任何其他整数去除它，都不能整除）。有三个条件必须被满足：
第一，你相信4 294 967 297是一个质数。如果你甚至不相信它本身，你就不可能知道它。我们不能说，一个人相信地球是平的，但是他知道地球是圆的。
第二，你关于4 294 967 297是质数的观念是合理的。你有相信它的好理由。你的观念不能以计算错误为依据。你也不能根据预感、通过研究茶叶的形状、神灵附体等途径建立观念。
第三，4 294 967 297确实是一个质数。显然，如果这个命题是错误的，你就不能把它当作事实来知道它。
这三条原则初看起来像是陈词滥调，提不起我们的兴趣。但是“知道”并不像表面上看起来那么简单。在三条原则中，第二条是最麻烦的。为什么要求观念是“合理”的？看起来，我们相信某事而且该事是真的，这两条可能就足够了。
如果我们只用这两条标准界定“知道”，就会把一些瞎猫碰上死耗子的情况也包括进去。在刺杀肯尼迪事件（1963）和刺杀里根未遂事件（1981）之后，几个灵学家跳出来宣称，她们早就做出了预言。她们中至少有某些人预言了在事件发生日期前后，总统将处于危险中，而且在事件发生前，这些预言已发表或通过媒体公布。同样是这些灵学家，她们也做过假预言。华盛顿灵学家珍妮·狄克逊（Jeane Dixon）每年都做出大量预言，其中难免会出现一些正确的预言。即使这也算“知道”的话，它也不是什么有用的知识。
什么是相信某事的“好理由”，这并不容易判断。1640年，法国数学家费马（Pierre de Fermat）觉得他有理由相信4 294 967 297是质数。他注意到，从以下公式可以产生质数：
22n+1
费马的公式是一个多级指数。一个常见的指数，例如23，表示写在左下方的数（2）乘以自己若干次，乘积的次数即作为小写的上标的数。23即2×2×2=8。在费马公式中，我们首先选择一个任意数n，计算出顶端的指数（2n），然后把底数2以这个数值为指数自乘，最后加1。
例如，221+1等于5，这是质数。222+1等于17，223+1等于257，224+1等于65 537，这些全是质数。费马猜测，4 294 967 297（225+1）以及这个序列中所有更大的数一定是质数。
许多人同样相信，这里有经验证据和权威的双重支持。但是，正如你很可能已经猜到的，4 294 967 297根本不是质数。瑞士数学家发现这个数等于641乘以6 700 417。[4]
科学与三重理由
相信、合理、真实——在科学史中充满各种各样的例子，分别对应着这三个条件的各种组合。我们用T表示一个条件被满足，用F表示一个条件不被满足，排列就按如上次序。
TTT表示一个合理的真观念，即一个已被接受的知识。大多数科学观念都属于这一类，无论如何，这部分是正确的。
FTT表示不被相信的、合理的真理。有许多例子属于这一类。例如，神创论者拒绝相信进化论，虽然有许多压倒性的证据支持进化论。神创论者构成了一个准科学的宗派。拒绝新发现，保有因循守旧的观点［法国科学院拒绝接受陨石，物理学家赫伯特·丁格尔（Herbert Dingle）古怪地拒绝相对论，等等］都属于Ftt。面对这种顽固势力，物理学家普朗克（Max Planck）抱怨道（1949）：“一个新的科学真理得以确立，并非因为其反对者认识到新理论的正确性而接受了新理论，更大程度上是因为反对者最终死了，而熟悉新理论的新一代成长起来了。”[5]
TFT是不合理的真观念。这就是由错误的理由支撑的真理，灵学家碰巧蒙对的猜测就属于此类。这一类信念也有许多例子。公元前5世纪的德谟克利特相信一个真理：所有物质都是由极其微小而不可见的微粒——原子构成的。虽然他的著作已经失传，但是他不大可能有被我们视为有效的证据。他的判断是一个哲学性的猜想，而结果是正确的。（20世纪物理学所说的原子并不像德谟克利特设想的那样是不可见的，认识到这一点，德谟克利特的幸运猜测就不那么令人惊异了。）
TTF是一个合理但错误的观念。许多相互延续的、关于宇宙的理论都属于此类，回顾一下这类理论是有趣的。古代人基于他们的理解有理由相信，太阳围绕着地球转。虽然一代又一代的学校老师把这种观点当作谬误的典型，但是敢于把太阳视为一个在遥远处环绕这个世界而动并因而造成日夜变化的物理对象，这需要一定的才智。哥白尼把太阳当作宇宙的中心，他有理由这样相信，但他同样是错误的。由于TTF是假的，我们无法举出一个当前被普遍接受的观念作为例证，但如果我们现在接受的宇宙理论大体上是错误的，这也没什么好奇怪的。
另外四种情况包括至少两个未满足的条件。TFF是不合理而且实际上是错误的观念，例如迷信的观点、荒诞的传说。FTF是一种独特的情况：尽管我们有理由相信，但是它不被相信，而实际上也是错误的。对上文描述的TTF抱有怀疑的人属于这种情况。哥白尼相信太阳是宇宙的中心，这种观点合理但它是错误的；天主教统治集团不相信哥白尼的观点，则属于FTF。
FFT代表一个真理，但是由于缺乏合理的理由而不被人们相信。某人拒绝相信某事，他的怀疑是有理由的，但事实上此事是真的。反对德谟克利特的原子论的历代哲学家（他们没有理由相信原子）是一个例子。在某种程度上，每一次科学革命都是由合理的保守主义（FFT）转变为对立面（FTT）的。
最后一种情况是FFF，这是没有理由的、错误的、被拒绝的观念。例如，不相信永动机的人，不相信“月球是由绿奶酪制成的”这样的废话的人，他们的观点属于此类。
布里丹语句
有些观念无法归入以上任何一个类别。“布里丹语句”就挑战了所有对“知道”进行定义的努力。“布里丹语句”得名于14世纪哲学家让·布里丹（Jean Buridan）的《诡辩》中的例子，表述如下：
没有人相信此语句。
如果这个语句是真的，则没有人相信它，于是没有人“知道”它。如果这个语句是假的，则至少有一个人相信它，但是没有人（无论相信者还是不信者）“知道”它，因为它是假的。因此，任何人都不可能“知道”这个语句是真的！
你相信下面这个语句吗？
你不相信此语句。
你相信这个语句是愚蠢的，因为这意味着你相信你不相信它。但是如果你不相信它，那么你有充分的理由相信它，因为它是真的……如果以上分析令你相信它，那么你马上又会陷入困境。相信它是荒唐的，整个推理又得重来一遍。奇怪的是，关于这个语句，你无法站在一个稳定的立场上。然而，在任何一个瞬间，一个了解你全部思想的、全知的存在者可以说出你是否相信它。
这个语句的反面（“你相信此语句”）说出了笛卡儿的“我思故我在”的要旨。只要你相信这个语句，那么它就是真的。如果你不相信它，那么它就是假的，而且你有非常充分的理由不相信它。无论你对这个语句持什么立场，你都是正确的。
“知道者悖论”比这还要奇怪。这个悖论的核心是如下断言（与意外绞刑悖论中法官的陈述类似）：
没有人知道这个语句。
如果它是真的，那么没有人“知道”它。如果它是假的，则立刻导致矛盾：有人“知道”它，但是很明显，没有人可以“知道”一个错误。因而，这个语句不是假的。它是毫无疑问的事实，但是从来没有人“知道”它！
盖梯尔反例
尽管三重理由给出的三条标准已经导致悖论，它们还不构成充分条件。满足这三个条件还不能保证“知道”。我们有一个合理的、真实的观念，但是并不“知道”我们相信的东西——这是有可能的。这些悖论性的情况被称为“盖梯尔反例”，得名于美国哲学家埃德蒙·盖梯尔（Edmund Gettier），此人在1963年的一篇论文中讨论了这些例子。
当反例应用于归纳概括时，是对一个命题或一段论证的反驳。盖梯尔反例（通常）是一个虚构的场景，用来说明传统的三条标准并不必然导致“知道”。如果说前文提到的灵学家的例子属于“错误的理由导致正确的结论”，那么盖梯尔反例的核心在于“正确的理由导致正确的结论，但是这些理由无法生效”。这种类型的错误困扰了哲学家（以及作家）很长时间。典型的盖梯尔反例有一个欧·亨利（O. Henry）风格的牵强的巧合。
在盖梯尔之前，柏拉图在一篇苏格拉底对话录（《泰阿泰德》）中已预见了这个问题。他讨论了一个伶牙俐齿的律师，这个律师的口才足以令陪审团相信一个有罪的委托人是无辜的。假定委托人是无辜的。陪审团相信这个委托人是无辜的，而且他们可以举出他们刚听到的有效的证据。然而，假如这个委托人实际上是有罪的，陪审团在卓越的辩护的催眠之下，同样会欣然相信委托人的无辜。柏拉图主张，他们的“知道”是假“知道”，实际上他们并不“知道”委托人是无辜的。
盖梯尔最初的例子之一是这样的：史密斯和琼斯到一个公司去应聘一个职务。史密斯刚和公司的总裁谈过话，被告知琼斯将得到这份工作。史密斯相信琼斯将得到这份工作，而且有合理的理由。史密斯还相信琼斯的口袋里有10枚硬币，因为刚才他看见琼斯为了找一枚25美分的硬币倒空了自己的口袋，然后把10枚硬币放回口袋。此后史密斯一直盯着琼斯，确信琼斯既没有把硬币再拿出来，也没放入新的硬币。
史密斯在心里胡思乱想：“看起来，口袋里有10枚硬币的人将得到这份工作。”他相信这一点是合理的，因为这是从“琼斯将得到这份工作”和“琼斯的口袋里有10枚硬币”推出的逻辑结论。
盖梯尔认识到，这些观念可能是错误的，然而史密斯依然可能是正确的。假定史密斯得到了这份工作（总裁改了主意），而且琼斯的口袋里实际上有11枚硬币（有1枚卡在了口袋的衬里上），非但如此，史密斯的口袋里也有10枚硬币。于是，“口袋里有10枚硬币的人将得到这份工作”是正确的。但是，如果我们说史密斯“知道”这一点，这是荒唐的——史密斯不过是蒙对了。
盖梯尔反例的斧凿之痕不一定总是如此明显。某人吃完午饭回来问你几点了，你看了一眼自己的表，答道：2时14分。你相信此时是2时14分。你的观念当然是合理的：你的表很贵，一直走得很准，而且（出于对精确时间的痴迷）你每天晚上都根据官方广播电台对表，把手表时间校准到秒。实际上，此时确实是2时14分，但是你不知道的是，昨晚你的表停了，指针停在了凌晨2时14分的位置上。你在此之前一直没看表，直到事隔整整12个小时，出于偶然，坏表恰好指示了正确的时间。
另一个例子：你到卢浮宫去看《蒙娜丽莎》。你在100张画中认出了这幅画，你与“蒙娜丽莎”同处一室，为此你激动不已。后来你得知，博物馆的管理人员得到消息，有人计划偷这幅画。于是，在你参观卢浮宫那天，管理人员用一副杰出的复制品替代了真迹。但是，你确实与达·芬奇的这幅杰作同处一室，因为真迹就隐藏在附近一幅不值钱的画的背后，那是窃贼最不容易发现的地方。
在科学史上也有盖梯尔反例。一个例子是，炼金术士相信金属可以变成黄金。这个观念不仅以单纯的直觉为基础，炼金术士最早把关于物质的知识系统化，他们正确地认识到，某种物质通过化学反应可以转变为另一种完全不同的物质。他们进一步发现，世界不是无限多样的，而是由相对较少的一些基本物质构成的。既然红汞可以变成汞，为什么贱金属不能变成黄金？看来，唯一的问题就是找到正确的配方。
即使在今天看来，这个猜想也有一定道理，这个猜想只不过碰巧是错误的。红色的、易碎的红汞可以变化为银色的液体水银，是因为红汞是汞和硫（两种元素）的化合物。如果黄金是由普通元素构成的化合物，或者某些普通物质是由金和其他东西构成的化合物，那么把普通物质变成黄金就是可能的。不幸的是，金是一种元素，而且没有哪种普通物质是金的化合物。化学家可以从某些东西（比如说氯化金）中提炼黄金，但是氯化金比黄金本身还稀有。
尽管如此，事实上在原子反应中，其他元素可以转化为金（或者任何其他元素），而炼金术士对原子反应一无所知。炼金术士有合理、正确的观念，但说他们“知道”其他元素可以转化为金，显然是不对的。
对盖梯尔反例的一种反应是，这些例子不过是“从错误的理由得出正确的结论”这种情况的特例。在每个例子中，所谓“合理”的观念都不是毫无疑问的合理，“很可能”与“确定”被混为一谈。
在史密斯找工作的例子里，史密斯与公司总裁的对话并未提供足够充分的理由令他相信“琼斯将得到这份工作”。这个理由足以为“琼斯将得到这份工作”分配一个高概率，但并不足以把它当作确切的事实来相信。史密斯应当已经意识到了，对方可能故意放出假消息以误导求职者，干扰他对机会的判断。
另一方面，即使像外部世界的存在这样确切无疑的观念，也可以设计成盖梯尔反例的情况。此时此刻，你最能确定的是什么？也许你非常确信，此刻这本书就放在你面前。但是你有可能是一颗“缸中之脑”。一个实验室的看门人在打扫卫生的时候，把一本书放在你面前，由于一个极巧的巧合，彼书就是此书。
要点在于，如果我们要求“合理”的观念必须是能够确切无疑地相信，那么我们定义“知道”的工作就会瘫痪。假定我们把确切无疑作为一条标准，我们就需要掌握确切无疑的理由。更糟糕的是，在外部世界中，没有任何东西是不可辩驳地确定的。如果我们为了“知道”某事必须百分之百地确切，那么我们就不可能“知道”任何事（甚至包括我们有理由相信的、真实的事）。
第四个条件
人们付出了巨大的努力去寻找第四个条件。第四个条件应当补充前三个条件，确保我们“知道”。它不仅需要消除所有的盖梯尔反例，而且应当禁止更加奇异的反例出现。
明显正确的、令所有人欣然接受的第四个标准尚未被发现。在确立第四条标志的几种尝试中，得到最充分讨论的一种观点认为，合理的真观念同时必须是不可失效的——它不能因环境条件的弱化而失效。
在盖梯尔反例中，假“知道”的当事人这时候会敲着自己的脑袋说：“当时我要是知道就好了！”他们本可以避免错误，如果知道——或者仅仅相信——某些特定的信息的话（画已经被拿走了，表已经停了，等等）。这些使他们的观念失效的事实被称为“败因”。如果这些当事人相信败因，他们就没有合理的理由相信那些悖论性的真命题了。
此刻是下午2时14分，你看了一眼自己的表，相信此刻是下午2时14分；你同样相信昨晚你的表停了，再也没走过。这样的话，你相信此刻是下午2时14分就是不合理的。这是不合理的，因为败因已经彻底推翻了最初的关于此刻的时间的证据（你的表指向2时14分），现在你的表显示什么时间已经无关紧要了。不可失效性条件要求，诸如此类的环境条件的弱化不会出现。
没有人真正知道，什么时候一个观念会受到一个这样的败因的威胁。不可失效性条件也许可以满足第四个条件的理论需要，但是不能帮助我们避免盖梯尔的假“知道”。
囚徒和盖梯尔
现在我们回到意外绞刑悖论。我们可以从三重理由出发做出论证：囚徒的“知道”是一个假象。奎因认为，囚徒（或者律师）的全部推理都是错误的。就连第一个推理（囚徒不能在最后一天被绞死）也是无效的。
当法官说囚徒不可能预知行刑的日期时，很明显，他的意思是说，一个完全遵循逻辑思维的囚徒将无法确切地推出行刑日期。一个普通的、不那么遵循逻辑思维的囚徒可能拥有更大的自由空间，他可能凭直觉确定一个日子，甚至有可能猜对（一个不合理的但正确的观念）。囚徒无法选择行刑日期，这足以说明囚徒不是真知道，只是猜对了。如果法官的命令确实有什么意义的话，其意义就在于禁止仅仅凭借推理确定日期的可能性。
为简单起见，我们假定行刑日期只能在两个日子中做出选择。假设囚徒的论证是有效的，他可以根据逻辑确定，为了奉行法官的指示，他一定会在星期六被处死。刽子手（此人和囚徒一样聪明）同样可以推出这个结论。这样的话，他就没有理由在星期六而非星期日行刑了。为什么呢？囚徒预测星期六是行刑日（根据归谬法假定这个前提），但是，即使由于某个奇迹，囚徒没有在星期六被绞死，他也可以推出行刑将发生在星期六。这就使得刽子手没有理由倾向于选择某一天而非另一天。如果他在星期六行刑，他会受到谴责；如果他不在星期六行刑，他也会受到谴责。
因此，刽子手可以在两个日子里自由选择行刑日。这意味着，囚徒推出他将在星期六被绞死的推理是错误的。
如果我们愿意，我们可以假定囚徒推出星期日是唯一合乎逻辑的行刑目。但是这使得刽子手有同样的理由在星期六行刑，这同样说明囚徒的推理是错误的。
以上分析导致了两个并列的盖梯尔反例。假定囚徒在星期六被绞死。表面看来，囚徒似乎是正确的。囚徒的观念是合理的真观念，然而，这并非真正的预先知道。囚徒没有意识到他的观念的败因：他有同样合理的理由相信行刑日是星期日。如上所述，如果假定囚徒必须在星期六被绞死，则推出他同样可以在另一天被绞死。囚徒的观念中的败因就是观念本身。
意外绞刑悖论是对演绎推理的一个警示。囚徒的推论是：他不可能在星期日被绞死，因此星期六是唯一的可能。致命的错误在于，他以为排除了不可能的情况就可以保证留下其他的可能情况。但有时所有的可能性都导致矛盾。
律师的结论是法官的命令不可能得到执行，他的观点更加片面。律师和囚徒都没发现下一步更为残酷的推论：如果囚徒相信法官的命令不可能得到执行，那么刽子手可以在任何一天绞死他，甚至可以选择最后一天，而且绞刑将是意外的。
[1] 阿列夫零是集合论中的术语，读者可以把这个词大致理解为无穷大。——译者注
[2] 直译原文应为“不能以少于19个音节定义的最小整数”，在英语中这个词组恰好包括18个音节。——译者注
[3] 关于“知道”的研究至今尚无公认的结果。——译者注
[4] 有许多公式最初可以产生质数，但算过一些值之后会失败。最著名的例子之一是n2–79n+1 601，直到n取80之前，这个公式一直产生质数，但是当n取80时就不是质数了。这就是在数学中根据归纳得出概括命题的危险。
[5] 艾伦·L·麦凯（Alan L. Mackay）对此的回应是：“既然曾经生活过的物理学家中的百分之九十现在依然健在，为什么我们还是在产生新的思想和观点呢？”